Родился 5 января 1911 года в деревне Синегубово ныне Плавского района Тульской области в крестьянской семье. Русский.Член ВКП(б) с 1941 года. Образование неполное среднее. Работал на заводе, затем председателем райисполкома в Витебской области.

   С 1933 по 1935 год проходил срочную службу в РККА. В 1938 году окончил курсы младших лейтенантов.

   С началом Великой Отечественной войны в июне 1941 года вновь призван в армию. Член ВКП(б) с 1941 года. С марта 1942 года в действующей армии. Сражался на Южном, Юго-Западном, снова Южном, Западном и 1-м Белорусском фронтах. Был дважды ранен.

В 1943 году окончил Высшую офицерскую бронетанковую школу.

   Командир танковой роты 34-го гвардейского отдельного тяжёлого танкового полка (8-я гвардейская армия, 1-й Белорусский фронт) гвардии капитан В. К. Корнеев отличился во время Варшавско-Познанской наступательной операции в боях по освобождению города Познань (ныне Польша). В боях по уничтожению окружённой группировки немецких войск в районе города-крепости Познань его танковая рота прорвала оборону противника, вышла ему глубоко в тыл, но сама оказалась в окружении. На западной окраине деревни Шверзенц (ныне город Сважендз, Великопольское воеводство, Познанский повят, Польша) танк В. К. Корнеева был подбит. Трое суток экипаж отбивал атаки, ведя огонь до последнего снаряда. Затем отстреливались из снятого с танка пулемёта. Погиб 27 января 1945 года в этом бою.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года «за образцовое выполнение заданий командования, проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками» Корнееву Василию Климовичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).

  Похоронен в деревне Шверзенц (Сважендз).(Ныне город Сважендз, Великопольское воеводство, Познанский повят, Польша.